Python中的树你知道吗?

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Python中的树你知道吗?

树与二叉树

在了解二叉树之前,我们要先了解树的一些概念,方便我们对二叉树的理解。

什么是树?

树(英语:tree)是一种抽象数据类型(ADT)或是实作这种抽象数据类型的数据结构,用来模拟具有树状结构性质的数据集合。

Python中的树你知道吗?

它是由n(n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:

每个节点有零个或多个子节点;

没有父节点的节点称为根节点;

每一个非根节点有且只有一个父节点;

除了根节点外,每个子节点可以分为多个不相交的子树;

树的术语:

Python中的树你知道吗?

节点的度: 一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;

树的度: 一棵树中,最大的节点的度称为树的度;

根结点: 树的最顶端的节点,继续往下分为子节点

父节点: 子节点的上一层为父节点

兄弟节点: 具有同一个父节点的节点称为兄弟节点

叶子节点/终端节点: 不再有子节点的节点为叶子节点

二叉树:

二叉树是树的特殊一种,具有如下特点:

每个节点最多有两个子树,节点的度最大为2

左子树和右子树是有顺序的,次序不能颠倒

即是某节点只有一个子树,也要区分左右子树

二叉树的性质:

在非空二叉树的第i层,最多有2i-1个节点(i>=1)

在深度为K的二叉树上最多有2k-1个节点(k>.1)

对于任意一个非空的二叉树,如果叶子节点个数为n0,度数为2的节点数为n2,则有n0=n2+1

推倒过程:在一棵二叉树中,除了叶子节点(度为0)外,就剩下度为2(n2)和度为1(n1)的节点了。则树的节点总数为T = n0 + n1 + n2;在二叉树中节点总数为T,而连线总数为T-1 = 2*n2 + n1,所以就有:n0 + n1 + n2 – 1 = 2 *n2 + n1,得到n0=n2+1。

特殊的二叉树

满二叉树

在二叉树中除了叶子节点,其他所有节点的度为2,且所有的叶子节点都在同一层上,这样的二叉树成为满二叉树。

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满二叉树的特点:

叶子节点只能出现在最下一层

非叶子节点度数一定为2

在同样深度的二叉树中,满二叉树的节点个数最多,叶子节点数最多

完全二叉树

如果二叉树中除去最后一层叶子节点后为满二叉树,且最后一层的叶子节点依次从左到右分布,则这样的二叉树称为完全二叉树

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完全二叉树的特点:

叶子节点一般出现在最下一层,如果倒数第二层出现叶子节点,一定出现在右部连续位置

最下层叶子节点一定集中在左部连续位置

同样节点的二叉树,完全二叉树的深度最小(满二叉树也对)

小例题:

某完全二叉树共有200个节点,该二叉树中共有()个叶子节点?

解:n0 + n1 + n2 = 200, 其中n0 = n2 + 1,n1 = 0或者1 (n1=1,出现在最下一层节点数为奇数,最下一层节点数为偶数,则n1=0), 因为n0为整数,所以最后算得n0 = 100。

完全二叉树的性质:

具有n个节点的完全二叉树的深度为log2n+1。log2n结果取整数部分。

如果有一棵有n个节点的完全二叉树的节点按层次序编号,对任一层的节点i(1 <= i <= n)

1. 如果i=1,则节点是二叉树的根,无父节点,如果i>1,则其父节点为i/2,向下取整

2. 如果2*1>n,那么节点i没有左孩子,否则其左孩子为2i

3. 如果2i+1>n那么节点没有右孩子,否则右孩子为2i+1

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验证:

第一条:

当i=1时,为根节点。当i>1时,比如结点为7,他的双亲就是7/2= 3;结点9双亲为4.

第二条:

结点6,62 = 12>10,所以结点6无左孩子,是叶子结点。结点5,52 = 10,左孩子是10,结点4,为8.

第三条:

结点5,2*5+1>10,没有右孩子,结点4,则有右孩子。

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