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Python数学建模三剑客之Numpy

   

Python数学建模三剑客之Numpy

三剑客之Numpy

numpy是一个开源的python科学计算库,包含了很多实用的数学函数,涵盖线性代数、傅里叶变换和随机数生成等功能。最初的numpy其实是scipy的一部分,后来才从scipy中分离出来。

numpy不是python的标准库,需要单独安装。假定你的运行环境已经安装了python包管理工具pip,numpy的安装就非常简单:

pip install numpy

一、数组对象

ndarray是多维数组对象,也是numpy最核心的对象。在numpy中,数组的维度(dimensions)叫做轴(axes),轴的个数叫做秩(rank)。通常,一个numpy数组的所有元素都是同一种类型的数据,而这些数据的存储和数组的形式无关。

下面的例子,创建了一个三维的数组(在导入numpy时,一般都简写成np)。

import numpy as np
a = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])

1、数据类型

numpy支持的数据类型主要有布尔型(bool)、整型(integrate)、浮点型(float)和复数型(complex),每一种数据类型根据占用内存的字节数又分为多个不同的子类型。常见的数据类型见下表。

Python数学建模三剑客之Numpy

2、创建数组

通常,我们用np.array()创建数组。如果仅仅是创建一维数组,也可以使用np.arange()或者np.linspace()的方法。np.zeros()、np.ones()、np.eye()则可以构造特殊的数据。np.random.randint()和np.random.random()则可以构造随机数数组。

>>> np.array([[1,2,3],[4,5,6]])                # 默认元素类型为int32
array([[1, 2, 3],
       [4, 5, 6]])
>>> np.array([[1,2,3],[4,5,6]], dtype=np.int8) # 指定元素类型为int8
array([[1, 2, 3],
       [4, 5, 6]], dtype=int8)
>>> np.arange(5)                               # 默认元素类型为int32
array([0, 1, 2, 3, 4])
>>> np.arange(3,8, dtype=np.int8)              # 指定元素类型为int8
array([3, 4, 5, 6, 7], dtype=int8)
>>> np.arange(12).reshape(3,4)                 # 改变shape
array([[ 0,  1,  2,  3],
       [ 4,  5,  6,  7],
       [ 8,  9, 10, 11]])
>>> np.linspace(1,2,5)                        # 从1到2生成5个浮点数
array([ 1.  ,  1.25,  1.5 ,  1.75,  2.  ])
>>> np.zeros((2,3))                            # 全0数组
array([[ 0.,  0.,  0.],
       [ 0.,  0.,  0.]])
>>> np.ones((2,3))                             # 全1数组
array([[ 1.,  1.,  1.],
       [ 1.,  1.,  1.]])
>>> np.eye(3)                                  # 主对角线元素为1其他元素为0
array([[ 1.,  0.,  0.],
       [ 0.,  1.,  0.],
       [ 0.,  0.,  1.]])
>>> np.random.random((2,3))                    # 生成[0,1)之间的随机浮点数
array([[ 0.84731148,  0.8222318 ,  0.85799278],
       [ 0.59371558,  0.92330741,  0.04518351]])
>>> np.random.randint(0,10,(3,2))              # 生成[0,10)之间的随机整数
array([[2, 4],
       [8, 3],
       [8, 5]])

3、构造复杂数组

很多时候,我们需要从简单的数据结构,构造出复杂的数组。例如,用一维的数据生成二维格点。

(1)重复数组:tile

>>> a = np.arange(5)
>>> a
array([0, 1, 2, 3, 4])
>>> np.tile(a, 2)
array([0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4])
>>> np.tile(a, (3,2))
array([[0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4],
       [0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4],
       [0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4]])

(2)重复元素:repeat

>>> a = np.arange(5)
>>> a
array([0, 1, 2, 3, 4])
>>> a.repeat(2)
array([0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4])

(3)一维数组网格化:meshgrid

>>> a = np.arange(5)
>>> b = np.arange(5,10)
>>> np.meshgrid(a,b)
[array([[0, 1, 2, 3, 4],
       [0, 1, 2, 3, 4],
       [0, 1, 2, 3, 4],
       [0, 1, 2, 3, 4],
       [0, 1, 2, 3, 4]]), array([[5, 5, 5, 5, 5],
       [6, 6, 6, 6, 6],
       [7, 7, 7, 7, 7],
       [8, 8, 8, 8, 8],
       [9, 9, 9, 9, 9]])]
>>>

(4)指定范围和分割方式的网格化:mgrid

>>> np.mgrid[0:1:2j, 1:2:3j]
array([[[ 0. ,  0. ,  0. ],
        [ 1. ,  1. ,  1. ]],
       [[ 1. ,  1.5,  2. ],
        [ 1. ,  1.5,  2. ]]])
>>> np.mgrid[0:1:0.3, 1:2:0.4]
array([[[ 0. ,  0. ,  0. ],
        [ 0.3,  0.3,  0.3],
        [ 0.6,  0.6,  0.6],
        [ 0.9,  0.9,  0.9]],
       [[ 1. ,  1.4,  1.8],
        [ 1. ,  1.4,  1.8],
        [ 1. ,  1.4,  1.8],
        [ 1. ,  1.4,  1.8]]])

上面的例子中用到了虚数。构造虚数的方法如下:

>>> complex(2,5)
(2+5j)

4、数组的属性

numpy的数组对象除了一些常规的属性外,也有几个类似转置、扁平迭代器等看起来更像是方法的属性。扁平迭代器也许是遍历多维数组的一个简明方法,下面的代码给出了一个例子。

>>> a = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
>>> a.dtype               # 数组元素的数据类型
dtype('int32')
>>> a.dtype.itemsize      # 数组元素占据的内存字节数
4
>>> a.itemsize            # 数组元素占据的内存字节数
4
>>> a.shape               # 数组的维度
(2, 3)
>>> a.size                # 数组元素个数
6
>>> a.T                   # 数组行变列,类似于transpose()
array([[1, 4],
       [2, 5],
       [3, 6]])
>>> a.flat                # 返回一个扁平迭代器,用于遍历多维数组
<numpy.flatiter object at 0x037188F0>
>>> for item in a.flat:
print item

5、改变数组维度

numpy数组的存储顺序和数组的维度是不相干的,因此改变数组的维度是非常便捷的操作,除resize()外,这一类操作不会改变所操作的数组本身的存储顺序。

>>> a = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
>>> a.shape                     # 查看数组维度
(2, 3)
>>> a.reshape(3,2)              # 返回3行2列的数组
array([[1, 2],
       [3, 4],
       [5, 6]])
>>> a.ravel()                   # 返回一维数组
array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
>>> a.transpose()               # 行变列(类似于矩阵转置)
array([[1, 4],
       [2, 5],
       [3, 6]])
>>> a.resize((3,2))             # 类似于reshape,但会改变所操作的数组
>>> a
array([[1, 2],
       [3, 4],
       [5, 6]])

6、索引和切片

对于一维数组的索引和切片,numpy和python的list一样,甚至更灵活。

a = np.arange(9)
>>> a[-1]                            # 最后一个元素
8
>>> a[2:5]                           # 返回第2到第5个元素
array([2, 3, 4])
>>> a[:7:3]                          # 返回第0到第7个元素,步长为3
array([0, 3, 6])
>>> a[::-1]                          # 返回逆序的数组
array([8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0])

假设有一栋2层楼,每层楼内的房间都是3排4列,那我们可以用一个三维数组来保存每个房间的居住人数(当然,也可以是房间面积等其他数值信息)。

>>> a = np.arange(24).reshape(2,3,4)    # 2层3排4列
>>> a
array([[[ 0,  1,  2,  3],
        [ 4,  5,  6,  7],
        [ 8,  9, 10, 11]],
       [[12, 13, 14, 15],
        [16, 17, 18, 19],
        [20, 21, 22, 23]]])
>>> a[1][2][3]                          # 虽然可以这样
23
>>> a[1,2,3]                            # 但这才是规范的用法
23
>>> a[:,0,0]                            # 所有楼层的第1排第1列
array([ 0, 12])
>>> a[0,:,:]                            # 1楼的所有房间,等价与a[0]或a[0,...]
array([[ 0,  1,  2,  3],
       [ 4,  5,  6,  7],
       [ 8,  9, 10, 11]])
>>> a[:,:,1:3]                          # 所有楼层所有排的第2到4列
array([[[ 1,  2],
        [ 5,  6],
        [ 9, 10]],
       [[13, 14],
        [17, 18],
        [21, 22]]])
>>> a[1,:,-1]                           # 2层每一排的最后一个房间
array([15, 19, 23])

7、数组合并

数组合并除了下面介绍的水平合并、垂直合并、深度合并外,还有行合并、列合并,以及concatenate()等方式。假如你比我还懒,那就只了解前三种方法吧,足够用了。

>>> a = np.arange(9).reshape(3,3)
>>> b = np.arange(9,18).reshape(3,3)
>>> a
array([[0, 1, 2],
       [3, 4, 5],
       [6, 7, 8]])
>>> b
array([[ 9, 10, 11],
       [12, 13, 14],
       [15, 16, 17]])
>>> np.hstack((a,b))                        # 水平合并
array([[ 0,  1,  2,  9, 10, 11],
       [ 3,  4,  5, 12, 13, 14],
       [ 6,  7,  8, 15, 16, 17]])
>>> np.vstack((a,b))                        # 垂直合并
array([[ 0,  1,  2],
       [ 3,  4,  5],
       [ 6,  7,  8],
       [ 9, 10, 11],
       [12, 13, 14],
       [15, 16, 17]])
>>> np.dstack((a,b))                        # 深度合并
array([[[ 0,  9],
        [ 1, 10],
        [ 2, 11]],
       [[ 3, 12],
        [ 4, 13],
        [ 5, 14]],
       [[ 6, 15],
        [ 7, 16],
        [ 8, 17]]])

8、数组拆分

拆分是合并的逆过程,概念是一样的,但稍微有一点不同:

>>> a = np.arange(9).reshape(3,3)
>>> np.hsplit(a, 3)                        # 水平拆分,返回list
[array([[0],
       [3],
       [6]]), array([[1],
       [4],
       [7]]), array([[2],
       [5],
       [8]])]
>>> np.vsplit(a, 3)                        # 垂直拆分,返回list
[array([[0, 1, 2]]), array([[3, 4, 5]]), array([[6, 7, 8]])]
>>> a = np.arange(27).reshape(3,3,3)
>>> np.dsplit(a, 3)                        # 深度拆分,返回list
[array([[[ 0],
        [ 3],
        [ 6]],
       [[ 9],
        [12],
        [15]],
       [[18],
        [21],
        [24]]]), array([[[ 1],
        [ 4],
        [ 7]],
       [[10],
        [13],
        [16]],
       [[19],
        [22],
        [25]]]), array([[[ 2],
        [ 5],
        [ 8]],
       [[11],
        [14],
        [17]],
       [[20],
        [23],
        [26]]])]

9、数组运算

数组和常数的四则运算,是数组的每一个元素分别和常数运算;数组和数组的四则运算则是两个数组对应元素的运算(两个数组有相同的shape,否则抛出异常)。

>>> a = np.arange(4, dtype=np.float32).reshape(2,2)
>>> b = np.arange(4, 8, dtype=np.float32).reshape(2,2)
>>> a+2                # 数组和常数可以进行四则运算
array([[ 2.,  3.],
       [ 4.,  5.]], dtype=float32)
>>> a/b                # 数组和数组可以进行四则运算
array([[ 0.        ,  0.2       ],
       [ 0.33333334,  0.42857143]], dtype=float32) 
>>> a == b             # 最神奇的是,数组可以判断对应元素是否相等
array([[False, False],
       [False, False]], dtype=bool)
>>> (a == b).all()     # 判断数组是否相等
False

特别提示:如果想对数组内符合特定条件的元素做特殊处理,下面的代码也许有用。

>>> a = np.arange(6).reshape((2,3))
>>> a
array([[0, 1, 2],
       [3, 4, 5]])
>>> (a>2)&(a<=4)
array([[False, False, False],
       [ True,  True, False]], dtype=bool)
>>> a[(a>2)&(a<=4)]
array([3, 4])
>>> a[(a>2)&((a<=4))] += 10
>>> a
array([[ 0,  1,  2],
       [13, 14,  5]])

10、数组方法和常用函数

数组对象本身提供了计算算数平均值、求最大最小值等内置方法,numpy也提供了很多实用的函数。为了缩减篇幅,下面的代码仅以一维数组为例,展示了这些方法和函数用法。事实上,大多数情况下这些方法和函数对于多维数组同样有效,只有少数例外,比如compress函数。

>>> a = np.array([3,2,4])
>>> a.sum()                   # 所有元素的和
9
>>> a.prod()                  # 所有元素的乘积
24
>>> a.mean()                  # 所有元素的算数平均值
3.0
>>> a.max()                   # 所有元素的最大值
4
>>> a.min()                   # 所有元素的最小值
2
>>> a.clip(3,4)               # 小于3的元素替换为3,大于4的元素替换为4
array([3, 3, 4])
>>> a.compress(a>2)           # 返回大于2的元素组成的数组
array([3, 4])
>>> a.tolist()                # 返回python的list
[3, 2, 4]
>>> a.var()                   # 计算方差(元素与均值之差的平方的均值)
0.66666666666666663
>>> a.std()                   # 计算标准差(方差的算术平方根)
0.81649658092772603
>>> a.ptp()                   # 返回数组的最大值和最小值之差
2
>>> a.argmin()                # 返回最小值在扁平数组中的索引
1
>>> a.argmax()                # 返回最大值在扁平数组中的索引
2
>>> np.where(a == 2)          # 返回所有值为2的元素的索引
(array([1]),)
>>> np.diff(a)                # 返回相邻元素的差
array([-1,  2])
>>> np.log(a)                 # 返回对数数组
array([ 1.09861229,  0.69314718,  1.38629436])
>>> np.exp(a)                 # 返回指数数组
array([ 20.08553692,   7.3890561 ,  54.59815003])
>>> np.sqrt(a)                # 返回开方数组
array([ 1.73205081,  1.41421356,  2.        ])
>>> np.msort(a)               # 数组排序
array([2, 3, 4])
>>> a = np.array([1,4,7])
>>> b = np.array([8,5,2])
>>> np.maximum(a, b)          # 返回多个数组中对应位置元素的最大值数组
array([8, 5, 7])
>>> np.minimum(a, b)          # 返回多个数组中对应位置元素的最小值数组
array([1, 4, 2])
>>> np.true_divide(a, b)      # 对整数实现真正的数学除法运算
array([ 0.125,  0.8  ,  3.5  ])

二、矩阵对象

matrix是矩阵对象,继承自ndarray类型,因此含有ndarray的所有数据属性和方法。不过,当你把矩阵对象当数组操作时,需要注意以下几点:

matrix对象总是二维的,即使是展平(ravel函数)操作或是成员选择,返回值也是二维的

matrix对象和ndarray对象混合的运算总是返回matrix对象

1、创建矩阵

matrix对象可以使用一个Matlab风格的字符串来创建(以空格分隔列,以分号分隔行的字符串),也可以用数组来创建。

>>> np.mat('1 4 7; 2 5 8; 3 6 9')
matrix([[1, 4, 7],
        [2, 5, 8],
        [3, 6, 9]])
>>> np.mat(np.arange(1,10).reshape(3,3))
matrix([[1, 2, 3],
        [4, 5, 6],
        [7, 8, 9]])

2、矩阵的特有属性

矩阵有几个特有的属性使得计算更加容易,这些属性有:

>>> m = np.mat(np.arange(1,10).reshape(3,3))
>>> m
matrix([[1, 2, 3],
        [4, 5, 6],
        [7, 8, 9]])
>>> m.T             # 返回自身的转置
matrix([[1, 4, 7],
        [2, 5, 8],
        [3, 6, 9]])
>>> m.H             # 返回自身的共轭转置
matrix([[1, 4, 7],
        [2, 5, 8],
        [3, 6, 9]])
>>> m.I             # 返回自身的逆矩阵
matrix([[ -4.50359963e+15,   9.00719925e+15,  -4.50359963e+15],
        [  9.00719925e+15,  -1.80143985e+16,   9.00719925e+15],
        [ -4.50359963e+15,   9.00719925e+15,  -4.50359963e+15]])
>>> m.A             # 返回自身数据的二维数组的一个视图
array([[1, 2, 3],
       [4, 5, 6],
       [7, 8, 9]])

3、矩阵乘法

对ndarray对象而言,星号是按元素相乘,dot()函数则当作矩阵相乘。对于matrix对象来说,星号和dot()函数都是矩阵相乘。特别的,对于一维数组,dot()函数实现的是向量点乘(结果是标量),但星号实现的却不是差乘。

>>> a = np.array([1,2,3])
>>> b = np.array([4,5,6])
>>> a*b               # 一维数组,元素相乘
array([ 4, 10, 18])
>>> np.dot(a,b)       # 一维数组,元素相乘再求和
32
>>> a = np.array([[1,2],[3,4]])
>>> b = np.array([[5,6],[7,8]])
>>> a*b               # 多维数组,元素相乘
array([[ 5, 12],
       [21, 32]])
>>> np.dot(a,b)       # 多维数组,实现的是矩阵相乘
array([[19, 22],
       [43, 50]])
>>> m = np.mat(a)
>>> n = np.mat(b)
>>> np.dot(m,n)       # 矩阵相乘
matrix([[19, 22],
        [43, 50]])
>>> m*n               # 矩阵相乘
matrix([[19, 22],
        [43, 50]])

三、线性代数模块

numpy.linalg 是numpy的线性代数模块,可以用来解决逆矩阵、特征值、线性方程组以及行列式等问题。

1、计算逆矩阵

尽管matrix对象本身有逆矩阵的属性,但用numpy.linalg模块求解矩阵的逆,也是非常简单的。

m = np.mat('0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8')
mi = np.linalg.inv(m)           # mi即为m的逆矩阵。何以证明?
m * mi                          # 矩阵与其逆矩阵相乘,结果为单位矩阵
matrix([[ 1.,  0.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.],
        [ 0.,  0.,  1.]])

2、计算行列式

如何计算行列式,我早已经不记得了,但手工计算行列式的痛苦,我依然记忆犹新。现在好了,你在手机上都可以用numpy轻松搞定(前提是你的手机上安装了python + numpy)。

m = np.mat('0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8')
np.linalg.det(m)     # 什么?这就成了?
2.0

3、计算特征值和特征向量

m = np.mat('0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8')
>>> np.linalg.eigvals(m)        # 计算特征值
array([ 7.96850246, -0.48548592,  0.51698346])
>>> np.linalg.eig(m)            # 返回特征值及其对应特征向量的元组
(array([ 7.96850246, -0.48548592,  0.51698346]), matrix([[ 0.26955165,  0.90772191, -0.74373492],
        [ 0.36874217,  0.24316331, -0.65468206],
        [ 0.88959042, -0.34192476,  0.13509171]]))

4、求解线性方程组

有线性方程组如下:

x - 2y + z = 0
2y -8z = 8
-4x + 5y + 9z = -9

求解过程如下:

>>> A = np.mat('1 -2 1; 0 2 -8; -4 5 9')
>>> b = np.array([0, 8, -9])
>>> np.linalg.solve(A, b)
array([ 29.,  16.,   3.])  # x = 29, y = 16, z = 3